第一章 单元测试

1、多选题：
以下哪些是线性空间定义中所包含的性质？（至少有两个正确选项）
选项：
A:向量加法的交换律
B:向量的模长必须为1
C:数乘对向量加法的分配律
D:向量加法的结合律
答案: 【向量加法的交换律;
数乘对向量加法的分配律;
向量加法的结合律】

2、单选题：
线性空间中向量的加法和数乘运算必须满足什么特性？
选项：
A:开放性
B:传递性
C:对称性
D:封闭性
答案: 【封闭性】

3、多选题：
设V是一个线性空间，α1,α2,…,αn是V中的一组向量，以下哪些条件可以说明α1,α2,…,αn是V的一组基（ ）
选项：
A:α1,α2,…,αn能线性表示V中的任意向量
B:α1,α2,…,αn线性无关，且V中存在向量不能由α1,α2,…,αn-1线性表示
C:α1,α2,…,αn线性无关，且dim(V)=n
D:α1,α2,…,αn线性无关，且V中任意n + 1个向量都线性相关
答案: 【α1,α2,…,αn能线性表示V中的任意向量;
α1,α2,…,αn线性无关，且dim(V)=n;
α1,α2,…,αn线性无关，且V中任意n + 1个向量都线性相关】

4、单选题：
以下关于线性空间的说法，正确的是（ ）
选项：
A:线性空间的基是一组线性相关的向量
B:线性空间的坐标表示与所选的基无关
C:线性空间的维数是该空间中向量的最大个数
D:线性空间中任意一组基所含向量的个数都等于该空间的维数
答案: 【线性空间中任意一组基所含向量的个数都等于该空间的维数】

5、单选题：
已知V1和V2是线性空间V的两个子空间，维数分别为m和n，且V1+V2 = V，V1∩V2的维数为k，以下说法正确的是（ ）
选项：
A:若m + n - k=dim(V)，则V1∩V2={0}
B:若m + n - k≠dim(V)，则V1和V2一定不独立
C:若V1∩V2={0}，则m + n - k=dim(V)且k = 0
D:若k = 0，则V1和V2的并集构成V
答案: 【若V1∩V2={0}，则m + n - k=dim(V)且k = 0】

6、单选题：
设(V_1)和(V_2)是线性空间(V)的两个子空间，那么(V_1cap V_2)是（ ）。
选项：
A:不是(V)的子空间
B:可能是也可能不是(V)的子空间
C:一定是(V)的子空间
答案: 【一定是(V)的子空间】

7、判断题：
若(V_1)和(V_2)是线性空间(V)的两个子空间，且(V_1cap V_2 = {0})，则(V_1 + V_2)是直和。
选项：
A:正确
B:错误
答案: 【正确】

第二章 单元测试

1、单选题：
设 (T_1) 和 (T_2) 是向量空间 (V) 到 (W) 的两个线性变换，对于任意向量 (alpha,betain V) 和任意实数 (k)，以下哪个选项符合线性变换加法的定义？
选项：
A:((T_1 + T_2)(alpha)=T_1(beta)+T_2(alpha))
B:((T_1 + T_2)(alpha+beta)=T_1(alpha)+T_2(beta))
C:((T_1 + T_2)(alpha)=T_1(alpha)+T_2(alpha))
D:((T_1 + T_2)(kalpha)=kT_1(alpha)+T_2(alpha))
答案: 【((T_1 + T_2)(alpha)=T_1(alpha)+T_2(alpha))】

2、单选题：
设(A)是(n)阶矩阵，若存在数(lambda)和非零(n)维列向量(xi)，使得(Axi = lambdaxi)，则称(lambda)是矩阵(A)的（ ）。
选项：
A:特征值
B:特征多项式
C:特征方程的根
D:特征向量
答案: 【特征值】

3、单选题：
已知矩阵(A)是(n)阶方阵，若(A)有(n)个线性无关的特征向量，则（ ）
选项：
A:矩阵(A)的行列式一定为零
B:矩阵(A)的特征值都为零
C:矩阵(A)一定可对角化
D:矩阵(A)一定不可对角化
答案: 【矩阵(A)一定可对角化】

4、单选题：
以下关于对角矩阵的说法，正确的是（ ）
选项：
A:对角矩阵的行列式一定为零
B:对角矩阵的非主对角线元素可以不为零
C:对角矩阵一定是方阵
D:对角矩阵的主对角线元素都为零
答案: 【对角矩阵一定是方阵】

5、多选题：
以下哪些概念与若尔当标准型的学习相关？
选项：
A:特征值与特征向量
B:幂运算与指数矩阵
C:线性变换
D:矩阵对角化
答案: 【特征值与特征向量;
幂运算与指数矩阵;
线性变换;
矩阵对角化】

6、多选题：
以下关于最小多项式和特征多项式的说法，正确的是（至少有两个正确选项）
选项：
A:矩阵的最小多项式和特征多项式有相同的根（重数可能不同）
B:矩阵的最小多项式整除其特征多项式，这是由Cayley - Hamilton定理保证的
C:最小多项式的次数一定小于等于特征多项式的次数
D:若两个矩阵相似，那么它们的最小多项式相同，特征多项式也相同
E:已知矩阵的特征多项式可以唯一确定其最小多项式
答案: 【矩阵的最小多项式和特征多项式有相同的根（重数可能不同）;
矩阵的最小多项式整除其特征多项式，这是由Cayley - Hamilton定理保证的;
最小多项式的次数一定小于等于特征多项式的次数;
若两个矩阵相似，那么它们的最小多项式相同，特征多项式也相同】